中学の数学では、図形の学習で立体の表面積や体積を勉強しますが、新潟市の個別指導塾スクールNOBINOBIの塾生さんの中にも、苦手に感じる生徒さんが多い単元です。
そこでこちらの記事では、図形の学習に苦手意識をもつ生徒さん向けに、円錐の表面積の出し方“３つの方法”を
●円錐の側面積を楽に計算する方法
●円錐の表面積を一発で計算する公式
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こと“のびのび”が自作のイラストと図で、わかりやすく丁寧に解説。
忘れにくい方法、一発で計算する公式もご紹介していきますので、
自分にあった方法で、円錐の表面積の問題を楽々クリアしてもらいたい！
と考えています。
目次【タップでジャンプ】
円錐（えんすい、直円錐）とは？
円錐（えんすい）とは、平面上の円の円周上の各点と、その平面上にない一点とを結んでできる立体。
中が空っぽの円錐は側面と底面の２つのパーツでできています。
中学の数学で勉強する円錐は、底面の円の中心と頂点とを結ぶ線が、底面に垂直な直円錐（ちょくえんすい）です。垂直にならない円錐は、斜円錐（しゃえんすい）といいます。
直円錐は、アイスのコーン（cone）、工事現場などに置かれるカラーコーンの台座をとった部分、鉛筆の先、大工道具のキリ、建物の屋根などをイメージしてもらえればわかりやすいかと思います。
ここでは、直円錐を円錐と呼んで解説していきます。
まずイメージしてもらいやすくするために、中身が空っぽの円錐の見取り図と展開図、パーツの名前と記号をご紹介します。
ちなみに、
側面の面積は側面積
底面の面積は底面積
といいます。
円錐の表面積の出し方、基本の計算方法
円錐の表面積は“側面積＋底面積”で求めることができます。
紙でできた円錐の側面を切って広げると、円の一部である“扇形”になります。
こちらの記事で、紙で自作した円錐と展開写真を確認できます。
扇形の中心角がわかると、円に対して側面の扇形がどれくらいの割合（比率）になるか、がわかります。
ですから、まず、扇形の中心角を求めると良いのです。
それでは、例題を使って順番に見ていきましょう。
例題）次の円錐の表面積を求めましょう。
この円錐を母線と底面の縁にそって切りひらく（展開する）と、
こんな形になります。
扇形の弧の長さと底面の円周の長さ（赤い線の部分）は、ぴったり同じ長さになります。
円の円周の長さは、
直径×円周率 ＝ 半径（ｒ）の２倍×円周率（π）＝ ２πｒ
ですので、この円錐の底面の円周の長さは
３×２×π＝６×π
６π㎝となります。
側面の扇形を円にした（図のように赤い点線でつなげた）ときの円周の長さに対して、側面の赤い実線の弧の長さがどのくらいの割合になるかわかれば、円の角度360°に対する扇形の中心の角度“中心角”の割合がわかり、中心角の大きさを求めることができるのです。
“側面の母線を半径とする円”に対して、側面の扇形の弧の長さ、中心角、面積は、ぜんぶ同じ割合。
となるのです。
この円錐の底面の円周の長さは６π㎝でしたので、
側面の扇形の弧の長さも、同じ長さの６π㎝。
“側面の円”は母線が半径になりますので、５㎝。
“側面の円”＝“側面の母線を半径とする円”の円周の長さは、
５×２×π＝１０π
１０π㎝になります。
扇形の弧の長さは、円周１０π㎝のうちの６π㎝ですので、
割合は６/１０（十分の六）、約分すると３/５（五分の三）になります。
先ほどの式のように、割合はぜんぶ同じですので、
中心角は３６０°の３/５、２１６°となります。
扇形の面積“側面積”も同様に、円の面積の３/５になります。
円の面積の出し方は
半径×半径×円周率＝半径（ｒ）×半径（ｒ）×円周率（π）＝πｒ²
π×５×５＝２５π㎝²
２５π㎝²の３/５が扇形の側面積の広さですので、
２５π×３/５＝１５π㎝²
これに底面積の広さを合わせれば、円錐全体の表面積になるのです。
底面積は、
π×３×３＝９π㎝²
この２つの面積を合計
１５π㎝²＋９π㎝²＝２４π㎝²
この円錐の表面積は、２４π㎝² と計算できました。
円錐の側面積だけを、もっと簡単に計算する方法
これまで見てきた通り、側面の弧の長さと底面の円周の長さは等しくなりますから、
となります。
そこで両辺の２とπを消して、
さらに、両辺を“側面の母線”で÷と、
となります。
扇形の側面積は、
円周率（π）×母線²×中心角/３６０
で出せました。
先ほどの式で、
中心角/３６０＝底面の半径/母線
となることが解りましたので、
扇形の側面積＝円周率（π）×母線²× 中心角/３６０
の式の“中心角/３６０”を“底面の半径/母線”と入れかえてみます。
円周率（π）×母線²× 底面の半径/母線
円周率（π）×母線×母線× 底面の半径/母線
“×母線”で“÷母線”が打ち消せますので、
円周率（π）×母線×底面の半径
が残ります。
結果、
となるのです。
例題の円錐の側面積をこの公式で計算すると、
π×５×３＝１５π
１５π㎝²
あっという間に円錐の側面積が出せました！
これに底面積をプラスすれば、円錐全体の表面積も簡単に出せるのです。
円錐全体の表面積を、もっともっと簡単に計算する公式
先ほどの
円錐の側面積の簡単な出し方を使って、円錐の表面積の出し方の公式を導き出す
こともできます。
円錐の側面積に円錐の底面積をあわせれば、円錐の表面積ですので、
円錐の側面積＋円錐の底面積
円周率（π）×母線×底面の半径 ＋ 円周率（π）×底面の半径²
円周率（π）×母線×底面の半径 ＋ 円周率（π）×底面の半径×底面の半径
となるはずです。
“円周率”と“底面の半径”は、ともに側面と底面の両方にかけられていますので“単元：文字と式”で勉強したように（）を使ってまとめることができます。
記号でおきかえると、
となります。
例題の円錐の表面積なら、
π×３×（５＋３）
＝π×３×８＝２４π
２４π㎝²
側面の母線と底面の半径がわかる円錐の表面積なら、
まとめ
こちらの記事では、円錐の表面積の出し方“３つの方法”を、
●円錐の側面積を楽に計算する方法
●円錐の表面積を一発で計算する公式
の順で解説してきました。
個人的に一番わかりやすく忘れにくいと思うのは、
なのですが、生徒さんの理解の仕方は人それぞれ。
自分にあった方法で、円錐の表面積の問題を楽々クリアしてもらいたい！と考えています。
おまけクイズ
では、例題の円錐の高さは何㎝になるでしょうか？
中学３年生の皆さんは学校の授業で学習すると思いますが、
中学１年生、中学２年生の皆さんも覚えておいて損はないと思います。
答えはこの記事の最後を確認してください。
最後までお読みいただきありがとうございました。
おまけクイズ解答
底辺：高さ：斜辺の比が、３：４：５の直角三角形もあるのです。
