中学２年生の数学では、一次関数を勉強します。
これまで、新潟市の個別指導塾スクールNOBINOBIの塾生さん達から
という声を、何度も聞いてきました。
そこでこちらの記事では、一次関数の文章問題に苦手意識をもつ生徒さん向けに、
代表的な問題の解き方を
●開校５年半で、新潟県内トップ私立高校合格者を輩出。
●年評定平均：中学時代3.7→高校進学後4.9、4.8の塾生を輩出。
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こと“のびのび”が、自作の図とグラフでわかりやすく丁寧に解説。
テストに良く出る問題の解き方もご紹介しますので、
ぜひ最後までお付き合いください。
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一次関数の文章問題の解き方｜重要ポイント
はじめに、大切なポイントをまとめました。
一次関数、解き方のポイント
- 問題文から“ x ”と“ y ”になるものを見つける。
- xとyをつかって式をつくる。
- あとで y = ax + b の形に変えればいい。
- 途中でグラフが変わる場合は、変わるポイントで分けて考える。
- グラフは、１めもりの単位に注目。
の５つです。
再確認ポイント、４つ
- 一次関数の公式は、y = a x + b
- a ＝ 傾き ＝ 変化の割合 ＝ 定数 = 比例定数 ＝ xの変化量分のｙの変化量
- ｂ ＝ 切片 ＝ 定数 ＝ xがゼロの時のｙの値 ＝ ｙ軸とグラフの交点
- a も b も、それぞれ 変わらない数 ＝ 定数
一次関数の文章問題でいちばん大切なのは、解き方ポイント１の
“ x “と“ y “になるものを見つけだすこと。
問題文の中に
「 x と y の関係を表す式を求めなさい 」
「 ｙをxの式で表しなさい 」
と出てくる文章題は、一次関数の問題、と言うこともできます。
※二次関数の問題もあります。
一次関数、テストによく出る出題パターンと解き方
よく出る出題パターンと、それぞれの解き方は、
- 問題文にx と y がでてくるパターン
【解き方】
そのまま素直に公式にあてはめる。 - 時間で値が変わるパターン
【解き方】
時間をx、時間によって変化する値（長さ距離、量、面積など）をyとする。 - 問題に「〇〇は（が）□□の一次関数」とでてくるパターン
【解き方】
○○を y 、□□を x とする。
の３つ。
他に良く出るだけでなく、間違いやすい「動点の問題」も解説します。
一次関数３つの出題パターン、それぞれの解き方を解説
よく出る出題パターンの解き方、それぞれ見ていきます。
１．問題にx と y がでてくるパターン
【 解き方のポイント 】
そのまま素直に公式にあてはめる。
家から80㎞はなれた親戚のおじさんの家まで、原付バイクで遊びにいくことにした。全ての道のりを平均時速25㎞で走行。家を出発してからx時間後の、おじさんの家までの残りの道のりをｙ㎞とする。
x と y の関係を式に表しなさい。
解き方
家を出発してからx時間後の、おじさんの家までの残りの道のりをｙ㎞とします。
全体の道のりから、x 時間で進んだ道のり（距離）を引けば残りの道のり y がわかるから、
ｙ＝ 80 － 25 x
あとで y = ax + b の形に変えればいいので、
ｙ＝－25x ＋ 80
となります。
変域を問われたら？
x 、y の変域を問われることもあります。
変域は、x 、y の最少と最多がわかればＯＫ。
x は時間でしたので、
最短時間は、出発地点の“ 0 ”、
最長時間は、80㎞走り切るのにかかった時間。
時間 ＝ 距離 ÷ 速さ
最長時間 ＝ 80 ÷ 25
最長時間 ＝ 3.2（＝ 3＋1/5時間 ＝ 3時間12分）
なので、x の変域は、
0 ≦ x ≦ 3.2（3＋1/5）、0時間以上3時間12分以下となります。
ｙは距離でしたので、変域は、
先ほど求めた x の変域の最少「0」と最大「4」を
それぞれ一次関数の式に代入すれば求められます。
ｙ＝－25 × 0 ＋ 80
ｙ＝ 0 ＋ 80
ｙ＝ 80（㎞）
ｙ＝－25 × 3.2 ＋ 80
ｙ＝ 80 ＋ 80
ｙ＝ 0（㎞）
なので、y の変域は
0 ≦ y ≦ 80 、0㎞以上80㎞以下となります。
２．時間で値が変わるパターン
【 解き方のポイント 】
時間を x 、時間によって変化する値（長さ距離、量、面積など）を y とする。
水が60L入った水槽を掃除したいので、一旦全てぬくことにした。なくなるまで一定の割合で水をぬいていく。水をぬき始めてから８分後の水の量は、50Lのめもりのところだった。
ｙを x の式で表しなさい。
解き方
もともとあった水の量60Lからぬいた分の水を引けば残りの水量がわかるはずです。
解き方ポイントのとおり、
時間を x
時間によって変わる値 ＝ 残りの水量 ＝ y
とすると、式は
ｙ＝ 60 － a x
時間あたり（この場合は１分）でぬける水の量は、一定（定数＝a）です。
これ（a）がわかれば
ｙを x の式で表す ＝ 一次関数の式をつくる
ことができます。
問題文にでてくる「8分後に残り50L」、
これを先ほどつくった式に代入すると…
50 ＝ 60 － 8 a
計算すると
8a ＝ 60 － 50
8a ＝ 10
8a/8 ＝ 10/8
a ＝ 5/4
定数 a がわかったので、ｙを x の式で表すと、
ｙ＝ 60 － 5/4 x
ｙ＝－5/4 x ＋ 60
となります。
ちなみに x の変域は
0 ≦ x ≦ 48、0分以上48分以下、
y の変域は
0 ≦ y ≦ 60 、0L以上60L以下
となります。
３．問題に「〇〇は（が）□□の一次関数」とでてくるパターン
【 解き方のポイント 】
○○を y 、□□を x とする。
友だちを呼んで、ホットケーキをつくってみんなで食べたい！ホットケーキにつけるハチミツとホイップクリームも用意してセットにしたい！と親に相談したら、
３人分のセットを用意するには、1,300円
５人分のセットを用意するには、2,500円
の費用がかかる、と言われました。
ホットケーキ・セットにかかる費用は、食べる人数の一次関数です。
友だち６人と自分をあわせた7人分のホットケーキ・セットを用意するのにかかる費用を求めなさい。
解き方
解き方ポイントのとおり、
ホットケーキ・セットにかかる費用は、食べる人数の一次関数だから、
ホットケーキ・セットにかかる費用 ＝ 〇〇 ＝ y
食べる人数 = □□ ＝ x
わかっていること全部つかって式をつくると、
1300＝３a＋b
2500＝５a＋b
の２つの式ができます。
連立方程式の加減法を使って、b を消せば a が求められるのです。
2500 ＝５a＋b
1300 ＝３a＋b
1200 ＝２a
1200/2 ＝ ２a/2
a ＝ 600
わかった a をどちらかの式に代入すれば、b がわかります。
1300 ＝ 600×3 ＋ b
1300 ＝ 1800 ＋ b
b ＝ －500
一次関数は
y = 600 x － 500
となります。
７人分を求めるので、xに７を代入すれば費用を求めることができます。
４．動点の問題 解き方
良く出されて間違いやすい「動点の問題」も解説します。
タテの長さが３cm、横の長さが４cmの長方形ABCDの周上を、点Pは毎秒１cmの速さで、AからB、Cを通ってDまで移動します。
PがAを出発してからx秒後の△APDの面積をy cm²とするとき、yはxの変化にともなってどう変化するのか説明しなさい。
解き方
最初に説明した解き方ポイント４「途中でグラフが変わる場合は、変わるポイントで分けて」考えると…
- Pの場所で三角形の高さが変わる。底辺はどんなときも変わらない。
高さの変化がわかれば、面積が計算できる。 - Pの位置によって、３つのパターンに分けて考える。
- 三角形の“底辺”と“パターンごとの高さ”をしっかり確認する。
例題では、x 秒後の△APDの面積を y cm²とする、となっています。
この場合、△APDの底辺ADは変わりません。
Pが動くことで、△APDの高さは変わっていく、
Pが動くことで、移動時間（と距離） x はのびていく
のです。
高さは、角をこえて次の辺に移動するたびに変わります。
なのでパターンは、点Pが辺AB、辺BC、辺CDにあるときの３つになります。
パターン1：点Pが、辺AB上にあるとき
点Pは1秒で１cm動きます。
なので点Pは、スタートからx秒後に、Aからx cmのところにあることになります。
△APDの高さはAPの距離。APの距離を x とすると、
点Pが辺AB上にあるとき（0 ≦ x ≦3、xが0以上3以下）の△APDの面積は、
△APD = 底辺 × 高さAP × 1/2
= 4 × x × 1/2 = 2 x
y ＝ 2 x
ここまでの△APDの面積yの変化をグラフにすると、
こうなります。
パターン2：点Pが辺BC上にあるとき
つぎに点Pは、Bを通過して、辺BC上を動きます。
点Pが辺BC上にあるとき、△APDの高さは、点Pから底辺ADにおろした垂線。
Pからの垂線（赤い点線）と辺ADの交点をHとすると、PHが高さになります。
この高さは、B寄りでも…
真ん中でも…
C寄りでも…
変わらないのです。
△APDの高さは、辺AB・辺DCと同じ長さですから、３cm。
そうすると、点Pが辺BC上にあるとき（3 ≦ x ≦ 7、xが3以上7以下）の△APD の面積は、
底辺AD × 高さPH × 1/2
= ４ × ３ × 1/2 = ６cm²
y ＝ 6
点Pが辺BC上にあるとき、△APDは、Pがどこにあっても同じ面積
なのです。
スタート地点Aからここまでの、△APDの面積の変化をグラフにあらわすと、
となります。
パターン3：点Pが辺CDにあるとき
最後に点Pは、Cを通過して、辺CD上を動きます。
このパターンのときの△APDの高さはDPです。
DPの距離がわかれば、△APDの面積がだせるはずです。
点Pが移動する距離は、辺AB、辺BC、辺CD。
点Pの全ての移動距離は、3つの辺の長さの合計だから
３ + ４ + ３ ＝ 10 cm
x秒後に点Pが動いた距離は、x cm。
このときの△APDの高さDPは、
辺AB、辺BC、辺CDの合計から、点Pが動いた距離 x を引けば求められるはずです。
高さ = DPの長さ ＝ 3つの辺の長さ － Pが動いた距離 なので、
DP ＝ 10 － x
そうすると、
点Pが辺AB上にあるとき（7 ≦ x ≦10、xが7以上10以下）の△APDの面積は、
底辺AD × 高さDP × 1/2
＝ 4 × （ 10 － x ） × 1/2
＝ 2 ( 10 － x )
y ＝ 20 － 2x
スタートからゴールまでをグラフに表すと、
ﾊﾟﾀｰﾝ : １ ２ ３
３つのパターンごとに、△APDの面積 y と x を使って表せて、グラフが書ければ完璧です。
ちなみに x の変域は
0 ≦ x ≦ 10、0分以上10秒以下、
y の変域は
0 ≦ y ≦ 6 、0 m² 以上 6 m² 以下
となります。
まとめ
一次関数の文章問題の解き方のポイントは、
- 問題文から“x”と“y”になるものを見つける。
- xとyをつかって式をつくる。
- あとで y = ax + b の形に変えればいい。
- 途中でグラフが変わる場合は、変わるポイントで分けて考える。
- グラフは、１めもりの単位に注目。
の５つ。
一次関数の基本、再確認ポイントは、
- 一次関数の公式は、y = ax + b
- a ＝ 傾き ＝ 変化の割合 ＝ 定数 = 比例定数 ＝ xの変化量分のｙの変化量
- ｂ ＝ 切片 ＝ 定数 ＝ xがゼロの時のｙの値 ＝ ｙ軸とグラフの交点
- a も b も、それぞれ 変わらない数 ＝ 定数
の４つ。
そして、いちばん大切なのは解き方ポイント１の“ x “と“ y “になるものを見つけだすことでした。
また、動点の文章問題の解き方ポイントは、
一次関数の解き方ポイント４「途中でグラフが変わる場合は、変わるポイントで分けて」考え、さらに、
- Pの場所で三角形の高さが変わる。底辺はどんなときも変わらない。
高さの変化がわかれば、面積が計算できる。 - Pの位置によって、３つのパターンに分けて考える。
- 三角形の“底辺”と“パターンごとの高さ”をしっかり確認する。
の３つのポイントに注目する、でした。
と言う塾生さんに
と気づいてくれます。
読解力が壊滅的に不足しているのでなければ、
こちらの記事で解説したポイントを意識して、
しっかり問題文を読むだけで
一次関数の文章問題の多くをスラスラ解けるようになるはず！
解ければ、高得点が期待できる文章問題。
まずは、こちらで取りあげた例題のような基本的な問題にチャレンジして
「できる感覚」をつかむことから始めてみてはいかがでしょうか。
読んでくださった中学生の皆さんの
得点力アップにつながることを心から願っています。
