一次方程式文章題「濃度の問題」の解き方をイメージした画像

詳しく!中学数学「一次方程式の利用」、文章題「割合:濃度の問題」を解説

一次方程式の解き方手順をイメージした画像

中学の数学ででてくる方程式の基本「一次方程式」。

「利用」や「応用」といった単元名で、文章問題を学習します。

別の記事でご紹介した通り、文章問題は主に8種類。

初めて訪問してくれた生徒さんのために「良く出題される順」にあげると、

①道のり・速さ・時間に関する問題
②代金・個数に関する問題
③過不足に関する問題
④年齢・分配・貯金に関する問題
⑤自然数・整数に関する問題
⑥割合に関する問題
⑦図形に関する問題
⑧平均に関する問題

となります。

新潟市で運営中の個別指導塾には、⑥割合に関する問題

なかでも特に

のんさんなやみ
のんさん
「濃度」の問題、にがて

な生徒さんたち、かなりいます。

そこでこちらの記事では、中学数学「一次方程式の利用」の文章題⑥「割合の問題」のうち「濃度の問題」をピックアップ!

  • 記事の内容は、

●「一次方程式の解き方の手順」5つのポイント(おさらい)
●「濃度の問題」解き方その1「うすめる」場合
「濃度の問題」解き方その2「こくする」場合
「濃度の問題」解き方その3「まぜる」場合
●まとめ
●豆知識:濃度の計算、基本をおさらい

となっています。

この記事を書いているのは、

のび校長イラスト左口
のびのび
●小中学生対象完全個別指導塾の
現役プロ講師&経営者
●現役カウンセラー
●元公立高校教員
の「のび校長」こと、のびのびです。
わかってしまえばそんなに難しくないですし、できるようになると
のんちゃん手にっこり
のんさん
理科の濃度の問題もラクラク解けちゃう!
ようになります。
数学も理科もできるようになるお得な問題!
ニガテな生徒さん向けに、丁寧に説明しています。



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「濃度の問題」、解き方の手順

濃度の問題の解き方をイメージした画像

中学の数学でとりあげられる濃度の文章問題は、一次方程式をつかうと楽に答えを導きだすことができます。

解き方の手順は、

① 文章を小分けにして読む。
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものをx(エックス)におきかえる。
⑤ 「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくる。

この手順にそって、良く出る

「うすめる」、「こくする」、「混ぜる」の3つの例題

をひとつずつ解説していきます。

その前に、一次方程式の基本と理科の濃度の基本をおさえたい!という人は、こちらの記事をご参照ください。

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中学の数学一次方程式の文章問題が解けた子のイメージ画像

 

例題1:濃度をうすめる

濃度を薄める問題のイメージ画像

問:5%の塩水を4%にするには?

5%の塩水が300gある。

のんさんまえむき
のんさん
うすめて4%の塩水にするには、
水を何g加えればいい?

 

問題をとくときの手順にそってみていきましょう。

① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったと思います(^^)
② 条件をすべて書きだします。

5%の塩水:300g

4%の塩水にする

水を何g加える?

③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみるのも良い方法です。

濃度を薄める問題のイメージ画像

のんさんなやみ
のんさん
加える水の重さがわからない…

そこで、④求めるもの(加える水)をx(エックス)におきかえます。

「 加える水 = x 」として、

⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくります。

ポイントは、

●塩水に入っている塩の重さ(量)は、うすめる前もうすめた後も変わらない。
●塩の重さは、うすめる前の塩水から計算でだせる。
塩の重さの出し方は、この記事一番下の
「豆知識コーナー」で確認できます。
●「 うすめる前 = うすめた後 」になるように方程式をつくる。

100倍してパーセントにしています。

塩水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…

うすめる時の濃度の計算式
こんな式がつくれます。
あとは、計算です。

1 / 20 × 300 = 1 / 25 × ( 300 + x )

15   = 300 / 25 + x / 25

ポイントでお話したとおり、「=」の左がわの計算から

この塩水には塩が15g入っている

ことがわかります。

「=」の左がわと右がわ両方に25をかけて

375 = 300 + x

x = 375 - 300

x = 75

加える水の重さをxとしましたので
75gの水を加えると、4%にうすめられる
のです。


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例題2:濃度をこくする

濃度を濃くする問題のイメージ画像

問:3%の砂糖水を4%にするには?

今度は、逆に濃度を濃くする例題。

塩水を砂糖水に変えてみます。

3%の砂糖水が240gある。

のんちゃん笑顔
のんさん
4%の砂糖水にするには、
砂糖を何g加えればいい?

例題1と同じように問題をとく手順にそってみていきましょう。

① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったということでいいですよね(^^)
② 条件をすべて書きだします。

3%の砂糖水:240g

4%の砂糖水にする

砂糖を何g加える?

③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみるのも良い方法です。

濃度を濃くする問題のイメージ画像

のんさんまじめ
のんさん
加える砂糖の重さがわからない…

そこで、④求めるもの(加える砂糖)をx(エックス)におきかえます。

「 砂糖 = x 」として、

⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくります。

ポイントは、

●3%の砂糖水の砂糖の重さと加える砂糖の重さの合計が、4%の砂糖水の砂糖の重さと同じ。
●「加えた砂糖の重さ分、砂糖水全体も重くなる」点に気をつけて!

100倍してパーセントにしています。

砂糖水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…

濃くする場合の濃度の計算式
こんな式がつくれます。
これを解くと、

720 / 100 + xg = 1 / 25 ×( 240g + xg )

「=」の左辺と右辺に25をかけて

25 × ( 7.2 + x )= 240 + x

180 + 25x = 240 + x

24x = 240 - 180

24x = 60

x = 2.5

xは加える砂糖の重さでしたので、

もとの砂糖水に
2.5gの砂糖を加えると、4%の濃さになる
ことがわかりました。

例題3:混ぜて濃さを変える

混ぜて濃さを変える問題のイメージ画像

問:5%の砂糖水と8%の砂糖水を混ぜて7%にするには?

最後は、2つの水溶液を混ぜて、濃さを変える問題。

ここでも砂糖水を使ってみます。

5%の砂糖水と8%の砂糖水を混ぜて、7%の砂糖水を240gつくりたい。

のんちゃん嬉しい
のんさん
5%の砂糖水は何gにすればいい?

これまでと同じように問題をとく手順にそってみていきましょう。

① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったと信じています(^^)
② 条件をすべて書きだします。

5%の砂糖水+8%の砂糖水

7%の砂糖水を240g

5%の砂糖水は何g?

③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみると良いんでした。

違う濃さの砂糖水を二つ混ぜるイメージ画像

のんさんぎもん
のんさん
5%の砂糖水の重さがわからない…

そこで、④求めるもの(5%の砂糖水)をx(エックス)におきかえます。

「 5%の砂糖水 = x 」として、

⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくります。

ポイントは、

●5%の砂糖水の砂糖の重さと8%の砂糖水の砂糖の重さの合計が、7%の砂糖水の砂糖の重さと同じ。
●5%の砂糖水をxgとすると、8%の砂糖水の重さ「?」はxを使ってどう表したらいい?
これさえわかれば、あとはこれまでと同じ!

100倍してパーセントにしています。

砂糖水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…

2つの濃さの砂糖水を混ぜるときの式
8%の砂糖水の重さは「240-x」
ですので、こんな式になります。
式ができたら、あとは計算するだけ。

両辺に100をかけて、

5x + 8 ×( 240 - x ) = 7 × 240

5x + 1920 - 8x = 1680

-3x = 1680 - 1920

-3x = -240

x = 80

5%の砂糖水がxgでしたので、

5%の砂糖水80g%の砂糖水160g(240 – 80)をまぜれば、

7%の砂糖水が240gできるのです。



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まとめ

濃度の問題の解き方がわかったイメージ画像

こちらの記事では、中学数学「一次方程式の利用」の文章題⑥「割合の問題」のうち「濃度の問題」の解き方を3つの例題で解説してきました。

記事の内容は、

●「一次方程式の解き方の手順」5つのポイント(おさらい)
●「濃度の問題」解き方その1「うすめる」場合
「濃度の問題」解き方その2「こくする」場合
「濃度の問題」解き方その3「まぜる」場合

となっています。

 

ここで取り上げた濃度の問題の解き方を参考に、

数学と理科両方の実力アップにつなげて頂ければ幸いです。

理科ででてくる「濃度」の基本を合せて説明している以下の記事もご参照ください。

関連記事

中学の数学ででてくる方程式の基本「一次方程式」。のんさん文章題、攻略できれば得点アップなのに…新潟市で運営中の個別指導塾にも、そんな生徒さんたちがかなりいます。実は、基本をしっかり頭に入れてあわて[…]

中学の数学一次方程式の文章問題が解けた子のイメージ画像

 

のび校長イラスト左口
のびのび
お読み頂き、ありがとうございました。
最後に「豆知識:濃度の計算の基本」も掲載!
皆さんのお役に立てれば幸いです。

豆知識:「濃度の計算」、基本を再確認

濃度の基本問題をイメージした画像

濃度の計算 基本をおさえよう!

濃度の計算でよく出てくる「塩水の濃度」。

のんちゃん笑顔
のんさん
この塩水は何パーセント?計算で出したい!

濃度(パーセント=%)は、

塩水の塩の重さ(グラム)を塩水全体の重さ(グラム)で割って100倍すると求めることができます。

式をイラストであらわすと、

濃度の計算方法のイメージイラスト
となります。

濃度の計算 基本を使ってみよう!

次に、濃度に関する計算方法をみてみましょう。

濃度(パーセント)と重さ(質量=グラム=g)がわかる塩水があって、

のんさんはてな
のんさん
塩水に含まれる塩は、何グラム?

と、聞かれたら…

濃度(%)は、100倍してパーセントにしていますから、

溶けている塩の重さの出し方図解

①まず濃度を100でわる
②でた数に、塩水全体の重さ(単位はg)をかける

ことで、塩の重さ(g)を出すことができるのです。

 

【関連ページ】当スクールの取り組みにつきましては、下記ページをご参照ください。

スクールの特徴紹介につきましては、下記ページをご参照ください。
お問い合わせにつきましては、下記ページをご参照ください。
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