中学の数学ででてくる方程式の基本「一次方程式」。
「利用」や「応用」といった単元名で、文章問題を学習します。
別の記事でご紹介した通り、文章問題は主に８種類。
初めて訪問してくれた生徒さんのために「良く出題される順」にあげると、
②代金・個数に関する問題
③過不足に関する問題
④年齢・分配・貯金に関する問題
⑤自然数・整数に関する問題
⑥割合に関する問題
⑦図形に関する問題
⑧平均に関する問題
となります。
新潟市で運営中の個別指導塾には、⑥割合に関する問題
なかでも特に
な生徒さんたち、かなりいます。
そこでこちらの記事では、中学数学「一次方程式の利用」の文章題⑥「割合の問題」のうち「濃度の問題」をピックアップ！
- 記事の内容は、
●「一次方程式の解き方の手順」５つのポイント（おさらい）
●「濃度の問題」解き方その１「うすめる」場合
●「濃度の問題」解き方その２「こくする」場合
●「濃度の問題」解き方その３「まぜる」場合
●まとめ
●豆知識：濃度の計算、基本をおさらい
となっています。
この記事を書いているのは、
現役プロ講師＆経営者
●現役カウンセラー
●元公立高校教員
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目次【タップでジャンプ】
「濃度の問題」、解き方の手順
中学の数学でとりあげられる濃度の文章問題は、一次方程式をつかうと楽に答えを導きだすことができます。
解き方の手順は、
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものをｘ（エックス）におきかえる。
⑤ 「＝（イコール）」の左側と右側が同じになるように式をつくる。
この手順にそって、良く出る
「うすめる」、「こくする」、「混ぜる」の３つの例題
をひとつずつ解説していきます。
その前に、一次方程式の基本と理科の濃度の基本をおさえたい！という人は、こちらの記事をご参照ください。
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例題１：濃度をうすめる
問：５％の塩水を４％にするには？
５％の塩水が300ｇある。
水を何ｇ加えればいい？
問題をとくときの手順にそってみていきましょう。
① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったと思います（＾＾）
② 条件をすべて書きだします。
５％の塩水：300ｇ
４％の塩水にする
水を何ｇ加える？
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみるのも良い方法です。
そこで、④求めるもの（加える水）をｘ（エックス）におきかえます。
「 加える水 ＝ ｘ 」として、
⑤「＝（イコール）」の左側と右側が同じになるように式をつくります。
ポイントは、
●塩水に入っている塩の重さ（量）は、うすめる前もうすめた後も変わらない。
●塩の重さは、うすめる前の塩水から計算でだせる。
※塩の重さの出し方は、この記事一番下の
「豆知識コーナー」で確認できます。
●「 うすめる前 ＝ うすめた後 」になるように方程式をつくる。
100倍してパーセントにしています。
塩水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…
1 / 20 × 300 ＝ 1 / 25 × （ 300 ＋ ｘ ）
15 ＝ 300 / 25 ＋ ｘ / 25
ポイントでお話したとおり、「＝」の左がわの計算から
この塩水には塩が15ｇ入っている
ことがわかります。
「＝」の左がわと右がわ両方に25をかけて
375 ＝ 300 ＋ ｘ
ｘ ＝ 375 - 300
ｘ ＝ 75
加える水の重さをｘとしましたので
75ｇの水を加えると、４％にうすめられる
のです。
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例題２：濃度をこくする
問：３％の砂糖水を４％にするには？
今度は、逆に濃度を濃くする例題。
塩水を砂糖水に変えてみます。
３％の砂糖水が240ｇある。
砂糖を何ｇ加えればいい？
例題１と同じように問題をとく手順にそってみていきましょう。
① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったということでいいですよね（＾＾）
② 条件をすべて書きだします。
３％の砂糖水：240ｇ
４％の砂糖水にする
砂糖を何ｇ加える？
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみるのも良い方法です。
そこで、④求めるもの（加える砂糖）をｘ（エックス）におきかえます。
「 砂糖 ＝ ｘ 」として、
⑤「＝（イコール）」の左側と右側が同じになるように式をつくります。
ポイントは、
●３％の砂糖水の砂糖の重さと加える砂糖の重さの合計が、４％の砂糖水の砂糖の重さと同じ。
●「加えた砂糖の重さ分、砂糖水全体も重くなる」点に気をつけて！
100倍してパーセントにしています。
砂糖水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…
720 / 100 ＋ ｘｇ ＝ 1 / 25 ×（ 240g ＋ ｘｇ ）
「＝」の左辺と右辺に25をかけて
25 × （ 7.2 ＋ ｘ ）＝ 240 ＋ ｘ
180 ＋ 25ｘ ＝ 240 ＋ x
24ｘ ＝ 240 - 180
24ｘ ＝ 60
ｘ ＝ 2.5
ｘは加える砂糖の重さでしたので、
もとの砂糖水に
2.5ｇの砂糖を加えると、４％の濃さになる
ことがわかりました。
例題３：混ぜて濃さを変える
問：５％の砂糖水と８％の砂糖水を混ぜて７％にするには？
最後は、２つの水溶液を混ぜて、濃さを変える問題。
ここでも砂糖水を使ってみます。
５％の砂糖水と８％の砂糖水を混ぜて、７％の砂糖水を240ｇつくりたい。
これまでと同じように問題をとく手順にそってみていきましょう。
① 文章を小分けにして読む。→ 読んでもらったと信じています（＾＾）
② 条件をすべて書きだします。
５％の砂糖水＋８％の砂糖水
７％の砂糖水を240ｇ
５％の砂糖水は何ｇ？
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみると良いんでした。
そこで、④求めるもの（５％の砂糖水）をｘ（エックス）におきかえます。
「 ５％の砂糖水 ＝ ｘ 」として、
⑤「＝（イコール）」の左側と右側が同じになるように式をつくります。
ポイントは、
●５％の砂糖水の砂糖の重さと８％の砂糖水の砂糖の重さの合計が、７％の砂糖水の砂糖の重さと同じ。
●５％の砂糖水をｘｇとすると、８％の砂糖水の重さ「？」はｘを使ってどう表したらいい？
これさえわかれば、あとはこれまでと同じ！
100倍してパーセントにしています。
砂糖水を作る前にもどすためにパーセントをそれぞれ100でわるので…
両辺に100をかけて、
5ｘ ＋ 8 ×（ 240 - x ） ＝ ７ × 240
5ｘ ＋ 1920 - 8x ＝ 1680
-3ｘ ＝ 1680 - 1920
-3ｘ ＝ -240
ｘ ＝ 80
５％の砂糖水がｘｇでしたので、
５％の砂糖水80ｇと８％の砂糖水160ｇ（240 - 80）をまぜれば、
７％の砂糖水が240ｇできるのです。
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まとめ
こちらの記事では、中学数学「一次方程式の利用」の文章題⑥「割合の問題」のうち「濃度の問題」の解き方を３つの例題で解説してきました。
記事の内容は、
●「一次方程式の解き方の手順」５つのポイント（おさらい）
●「濃度の問題」解き方その１「うすめる」場合
●「濃度の問題」解き方その２「こくする」場合
●「濃度の問題」解き方その３「まぜる」場合
となっています。
ここで取り上げた濃度の問題の解き方を参考に、
数学と理科両方の実力アップにつなげて頂ければ幸いです。
理科ででてくる「濃度」の基本を合せて説明している以下の記事もご参照ください。
[sitecard subtitle=関連記事 url=https://school-nobinobi.com/application-problems-of-linear-equations-for-concentration/ target=self]
最後に「豆知識：濃度の計算の基本」も掲載！
皆さんのお役に立てれば幸いです。
濃度の計算 基本を使ってみよう！
次に、濃度に関する計算方法をみてみましょう。
濃度（パーセント）と重さ（質量＝グラム＝ｇ）がわかる塩水があって、
と、聞かれたら…
濃度（％）は、100倍してパーセントにしていますから、
①まず濃度を100でわる
②でた数に、塩水全体の重さ（単位はｇ）をかける
ことで、塩の重さ（ｇ）を出すことができるのです。
【関連ページ】当スクールの取り組みにつきましては、下記ページをご参照ください。
