一次方程式文章題「かわる」タイプの問題をイメージした画像

納得!中学数学「一次方程式の利用」文章題「道のり・速さ・時間“かわる”問題」徹底解説

一次方程式「道のり、速さ、時間」文章題のイメージ画像

 

中学数学の基本「一次方程式」。

方程式の「利用」や「応用」というかたちで、文章問題が出題される単元でもあります。

別の記事でご紹介した通り、文章問題は主に8種類。

初めて訪問してくれた皆さんのために「良く出題される順」をご紹介すると、

①道のり・速さ・時間に関する問題
②代金・個数に関する問題
③過不足に関する問題
④年齢・分配・貯金に関する問題
⑤自然数・整数に関する問題
⑥割合に関する問題
⑦図形に関する問題
⑧平均に関する問題

となります。

新潟市で運営中の個別指導塾の塾生さんたちには、とくに良く出題される

①道のり・速さ・時間に関する問題

の解説に力を入れていますが、出題パターンが多く

のびくんはてな
のびくん
「道のり・速さ・時間」の問題、にがて

な生徒さんたちもいます。

そこでこちらの記事では単元「一次方程式の利用」「道のり・速さ・時間」基本の問題を取りあげます。

  • 記事の内容は、

●「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプは
「おいつく」「まわる」「かわる」の3つ。
●「かわる」のうち時間を求める問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●「かわる」のうち道のりを求める問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●まとめ

となっています。

 

この記事を書いているのは、

のび校長イラスト左口
のびのび
●小中学生対象完全個別指導塾の校長(経営者兼専任講師)
●開校5年半で、新潟県内トップ私立高校合格者を輩出。
●年評定平均:中学時代3.7→高校進学後4.9、4.8の塾生を輩出。
●サポートした不登校卒塾生、定時制高校→大学進学。
●当ブログ、にほんブログ村カテゴリー「中学受験(個人塾)」
で、2020年6月から5ヶ月連続ランキング1位を獲得。
●元公立高校教員
●現役カウンセラー
の「のび校長」こと、のびのびです。
わからないまま問題に挑戦しても解くのは難しいですし、解けなければモチベーションもさがりがち。
解き方がわかれば、問題を
のびくんよこ
のびくん
やってみようかな…
という気持ちも芽生えてきます。
先生や塾講師、友達に教えてもらったけれど、どうもピンとこない…
人に聞くより自分でゆっくり確認したい…
そんなニガテな生徒さん向け、お子様への解説の参考をおさがしの保護者様向けに、丁寧に解説していきます。


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「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプ3つ

一次方程式「道のり、速さ、時間」文章題3種のイメージ画像

 

「道のり・速さ・時間」の問題には多くの種類があります。

その中でも代表的な問題は

先に出発した人に後から追いかける人が「おいつく」タイプ、

二人がグランドや池などの周囲を「まわる」タイプ、

途中で速さや手段が変化する「かわる」タイプの3タイプ。

ここでは「かわる」タイプの例題2種類について、ひとつひとつ解説していきます。

 

苦手な人向けに基本的な考え方を理解してもらうための内容ですので、

のびくんいいね
のびくん
わかってる!

という箇所は、どんどん飛ばして読み進めてください。

 

がっかりのび君
のびくん
「おいつく」問題の解き方が知りたい!
そんな方はこちらの記事
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一次方程式文章題の解き方
のんさんぎもん
のんさん
「まわる」問題の解き方を教えて!
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一次方程式文章題「まわる」タイプの問題解き方をイメージした画像
を、それぞれご参照ください。

「道のり・速さ・時間」の「かわる」問題の解き方

一次方程式「かわる」文章題をイメージした画像

解き方の手順にそって「かわる」の例題の

「時間を求める」、

「道のりを求める」

の2つのパターンについて解説していきます。

速さが「かわる」例題1)時間を求める

7時30分に家を出て、家から1.5㎞のところにある学校に向かいました。
途中までは分速50mで歩いていたところ、
友達と約束した時間に遅れそうだと気づきました。
そこで分速100mで走ったところ、7時50分に着きました。
約束の時間前に着くことができたのです。
走った時間は何分でしょうか。

一次方程式文章問題の解き方は、

① 文章を小分けにして読む。
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものを(エックス)におきかえる。
⑤ 「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくる。
の5つの手順で解いていきます。
あらかじめ①文章を小分けにしてあります。
実際の問題は、小分けになっていませんので注意が必要です。
ここから②条件をすべて書きだすと、
家から学校までの道のり:1.5km
家出発:7:30
速さ:はじめ、徒歩で分速50m
途中から走りで分速100m
学校到着:7:50
走った時間は何分?

となります。

③解りにくいときは、絵や図を描いてみるとグッとわかりやすくなります。

一次方程式「かわる」文章題図

がっかりのび君
のびくん
図にしたけど、道のりも時間もわからない…

そこで④求めるものをとすると…

走った時間は分。
となります。
そうすると図に書き込める条件は、

一次方程式「かわる」文章題図1

こんな風になります。

図に書き込んでもわかりにくい場合は「あるく」「はしる」それぞれの道のり(距離)、速さ、時間を表にしてみるのも良い方法です。

一次方程式「かわる」文章題表1

このように書き込めました。

あとは⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくることができれば がだせるはず。

歩いた道のりと走った道のりを合わせると1,500mになることが図からもわかりますので、

100x + 50 ×( 20 - x  )= 1500 
のび校長イラスト大左向き
のびさん
こんな式ができました。

この式を解けば、はしるのにかかった時間 をもとめることができます。

( )を外すには「50」をそれぞれにかけます。

100+ 1000 - 50 = 1500

+1000を「=」の右がわにもっていって

100- 50 = 1500 - 1000

50= 500

「=」の両側を50でわれば、がもとめられます。

50 ÷ 50 500 ÷ 50

x = 10 

はしった時間は、10分

だったことがわかりました。

次に、全く同じ条件で、道のりを求める問題を見ていきましょう。

 



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速さが「かわる」例題2)道のりを求める

7時30分に家を出て、家から1.5㎞のところにある学校に向かいました。
途中までは分速50mで歩いていたところ、
友達と約束した時間に遅れそうだと気づきました。
そこで分速100mで走ったところ、7時50分に着きました。
約束の時間前に着くことができたのです。
歩いた道のりは何mだったしょうか。

先ほどと全く同じですが、今度は道のりを答える問題です。

こちらも一次方程式文章問題の解き方5つの手順で解いていきます。

①問題文は小分けにしてあります。
前の問題と同じように②条件をすべて書きだすと、
家から学校までの道のり:1.5km
家出発:7:30
速さ:はじめ、徒歩で分速50m
途中から走りで分速100m
学校到着:7:50
歩いた道のりは何m?

となります。

これだけでは解きにくいと思いますので③解りにくいときは、絵や図を描いてみます。

前の問題と同じ図ですが、

一次方程式「かわる」文章題図

のんさんなやみ
のんさん
図にしたけど、道のりも時間もわからない…
のんさんは、前の問題をやっていませんし、のびくんに解答を教えてもらっていませんので、わからないのです。
なので④求めるものをとすると、今度は…
歩いた道のりは m。
となります。
書き込める条件が増えましたので、
一次方程式「かわる」文章題図3

図に書き込んでもわかりにくい場合は、表にしてみるのも良い方法でした。

一次方程式「かわる」文章題表3

あとは⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくることができれば がだせるはず。

学校につくまでにかかった時間は計算で出せます。

時間 = 道のり ÷ 速さ

ですので、

一次方程式「かわる」文章題式1
のび校長イラスト大左向き
のびさん
こんな式ができました。

この式を解けば、あるいた道のり をもとめることができます。

分数のままでは計算しにくいので「=」の両側に100をそれぞれかけます。

一次方程式「かわる」文章題式2

これを計算すると

+ 1500 - = 2000

+1500を「=」の右がわにもっていって

 - = 2000 - 1500

x = 500

歩いた道のりは、500m

だったことがわかりました。

 

のび校長イラスト左口
のびさん
2問連続、おつかれさまでした!

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まとめ

一次方程式「かわる」文章題をイメージした画像

 

こちらの記事では単元「一次方程式の利用」「道のり・速さ・時間」基本の問題を取りあげて解説してきました。

記事の内容は、

●「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプは
「おいつく」「まわる」「かわる」の3つ。

「かわる」のうち時間を求める問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●「かわる」のうち道のりを求める問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●まとめ

一次方程式文章問題の解き方

① 文章を小分けにして読む。
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものを(エックス)におきかえる。
⑤ 「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくる。
の5つの手順にそって、図や表を使いながら、2問の例題を解説してきました。
例題のようにていねいに解いていけば、ニガテな人も楽に答えを導きだすことができます。
解き方さえわかれば、
のびくんははん
のびくん
問題に挑戦してみようかな…
とモチベーションも芽生えます。
モチベーションがあがってきたら、是非問題にチャレンジしてみてください。
のんちゃん嬉しい
のんさん
とけた!
きっとのんさんのように、楽に解ける感覚を実感してもらえるはず。

ここで取り上げた問題の解き方を参考に、数学の実力アップにつなげて頂ければ幸いです。

 

「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプ「おいつく」問題の解き方は、以下の記事をご参照ください。

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「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプ「まわる」問題の解き方は、以下の記事をご参照ください。

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理科ででてくる「濃度」の基本を説明している以下の記事もご参照ください。

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のび校長イラスト左口
のびのび
お読み頂き、ありがとうございました。
皆さんのお役に立てれば幸いです。

 

【関連ページ】当スクールの取り組みにつきましては、下記ページをご参照ください。

スクールの特徴紹介につきましては、下記ページをご参照ください。
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