一次方程式文章題「まわる」タイプの問題解き方をイメージした画像

できる!中学数学「一次方程式の利用」文章題「道のり・速さ・時間“まわる”問題」徹底解説

一次方程式文章題「まわる」例題が解けた喜びのイメージ画像

 

中学数学の基本「一次方程式」。

方程式の「利用」や「応用」というかたちで、文章問題が出題される単元でもあります。

別の記事でご紹介した通り、文章問題は主に8種類。

初めて訪問してくれた皆さんのために「良く出題される順」をご紹介すると、

①道のり・速さ・時間に関する問題
②代金・個数に関する問題
③過不足に関する問題
④年齢・分配・貯金に関する問題
⑤自然数・整数に関する問題
⑥割合に関する問題
⑦図形に関する問題
⑧平均に関する問題

となります。

新潟市で運営中の個別指導塾の塾生さんたちには、とくに良く出題される

①道のり・速さ・時間に関する問題

の解説に力を入れていますが、出題パターンが多く

のんさんまじめ
のんさん
「道のり・速さ・時間」の問題、にがて

な生徒さんたちもいます。

そこでこちらの記事では単元「一次方程式の利用」「道のり・速さ・時間」基本の問題を取りあげます。

  • 記事の内容は、

●「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプは
「おいつく」「まわる」「かわる」の3つ。

「まわる」のうち「であう」問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●「まわる」のうち「おいつく」問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●まとめ

となっています。

 

この記事を書いているのは、

のび校長イラスト左口
のびのび
●小中学生対象完全個別指導塾の校長(経営者兼専任講師)
●開校5年半で、新潟県内トップ私立高校合格者を輩出。
●年評定平均:中学時代3.7→高校進学後4.9、4.8の塾生を輩出。
●サポートした不登校卒塾生、定時制高校→大学進学。
●当ブログ、にほんブログ村カテゴリー「中学受験(個人塾)」
で、2020年6月から5ヶ月連続ランキング1位を獲得。
●元公立高校教員
●現役カウンセラー
の「のび校長」こと、のびのびです。
わからないまま問題に挑戦しても解くのは難しいですし、解けなければモチベーションもさがりがち。
解き方がわかれば、問題を
のんさんまえむき
のんさん
やってみようかな…
という気持ちも芽生えてきます。
先生や塾講師、友達に教えてもらったけれど、どうもピンとこない…
人に聞くより自分でゆっくり確認したい…
そんなニガテな生徒さん向け、お子様への解説の参考にしたい保護者様向けに、丁寧に解説していきます。


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「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプ3つ

道のり・速さ・時間の文章問題3タイプをイメージした画像

「道のり・速さ・時間」の問題には多くの種類があります。

その中でも代表的な問題は

先に出発した人に後から追いかける人が「おいつく」タイプ、

二人がグランドや池などの周囲を「まわる」タイプ、

途中で速さや手段が変化する「かわる」タイプの3タイプ。

ここでは「まわる」タイプの例題2種類について、解きながら解説していきます。

 

苦手な人向けに基本的な考え方を理解してもらうための内容ですので、

のんさんこたえ
のんさん
わかってる!

という箇所は、どんどん飛ばして読み進めてください。

 

のんさんまじめ
のんさん
「おいつく」問題の解き方が知りたい!
そんな方にはこちらの記事
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一次方程式文章題の解き方
のびくんはてな
のびくん
途中で「かわる」問題の解き方を教えて!
そんな方にはこちらの記事
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一次方程式文章題「かわる」タイプの問題をイメージした画像
をご参照ください。

「まわる」問題のうち「であう」の解き方

であう問題のイメージ画像

まずは「まわる」タイプの問題2種類のうち「であう」例題を、解き方の手順にそって解きながら解説していきます。

「であう」の例題

1周2kmのため池。
同じ地点に立っていたソラさんとレイナさん。
反対方向へ同時に出発しました。
ソラさんは右まわり(時計回り)、自転車で毎分200m、
レイナさんは左まわり、徒歩で毎分50m進みます。
2人が出発してから初めて出会うのは何分後でしょうか。

一次方程式文章問題の解き方は、

① 文章を小分けにして読む。
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものを(エックス)におきかえる。
⑤ 「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくる。
の5つの手順で解いていきます。
あらかじめ①文章を小分けにしておきました。
実際の問題は、ここまで小分けになっていませんので注意が必要です。
ここから②条件をすべて書きだすと、
ため池一周:2km
ソラさんとレイナさんは反対方向へ同時に出発

ソラさん:右まわり(時計回り)、自転車で毎分200m
レイナさん:左まわり、徒歩で毎分50m
2人が初めて出会うのは何分後?

となります。

ニガテな人はこれだけでは解きにくいと思います。

③解りにくいときは、絵や図を描いてみるとグッとわかりやすくなります。

であう例題のイラスト

④求めるものをとすると…

二人は分後にであう。
となります。

上のように円で描けばイメージをつかむには良いのですが…

ここに条件を色々書き込んでいくと、ゴチャゴチャしてわかりにくくなってしまいます。

そこで、スタート地点でちょん切って、直線にしてみました。

出発点は、同じ場所です。

一次方程式であう問題説明図

図に書き込んでもわかりにくい場合は、ソラさん、レイナさんそれぞれの道のり(距離)、速さ、時間を表にしてみるのも良い方法です。

一次方程式文章題であう例題の説明表1

のんさんなやみ
のんさん
表にしたけど、道のりも早さもわからない…

あと一つ、式をつくるための材料が残っています。

そう、このため池は1周2kmでした。

一次方程式文章題であう例題説明図1

ソラさんが進んだ道のりとレイナさんが進んだ道のりを合わせるとちょうど1周になります。

あとは⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくることができれば がだせるはず。

ソラさんの道のりとレイナさんの道のりを合わせれば、ため池一周の道のりになりますから、

200x + 50x = 2000 
のび校長イラスト大左向き
のびさん
こんな式をつくることができました。

この式を解けば、2人がかかった時間 をもとめることができます。

250x = 2000

「=」の両側を250でわれば、がもとめられます。

250x ÷ 250 = 2000 ÷ 250

x = 4

二人は、出発してから4分後にであう。

ことがわかりました。



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「まわる」問題のうち「おいつく」の解き方

であうに似ているおいつく問題のイメージ画像

池やグランドを「まわる」問題では「であう」のほかに、速さがちがう2人が同じ方向に進んで「おいつく」タイプの問題も良く出題されます。

「まわる」タイプの問題のうち「おいつく」例題を、解き方の手順にそって解きながら解説していきます。

「おいつく」タイプの問題は別の記事でも取りあげましたが、周囲を「まわる」タイプはこちらで取りあげています。

まわって「おいつく」例題

1周2.1kmのため池。
同じ地点にいたハナさんとコウさん。
同じ方向へ同時に出発しました。
ハナさんは、自転車で毎分200m、
コウさんは、徒歩で毎分50m進みます。
ハナさんがコウさんに追いつくのは何分後でしょうか。

この問題も一次方程式文章問題の解き方5つの手順で解いていきます。

あらかじめ①文章を小分けにしておきました。
ここから②条件をすべて書きだすと、
ため池一周:2.1km
ソラさんとレイナさんは同じ方向へ同時に出発

ハナさん:自転車で毎分200m
コウさん:徒歩で毎分50m
ハナさんがコウさんに追いつくのは何分後?

となります。

ニガテな人はこれだけでは解きにくいと思います。

③解りにくいときは、絵や図を描くとグッとわかりやすくなります。

一次方程式文章題おいつく例題イメージ図

「同じ方向に進んで追いつく」ということは

速い人が遅い人より1周多く進むから追いつく

わけです。

このタイプの問題は、池のまわりの道のりと2人の速さが変わっても道のりの差はちょうど1周。

ですから、

同じ方向に進んで追いつく場合:2人の道のりの差=1周分

ということになります。

④求めるものをとすると…

ハナさんは分後にコウさんに追いつく。
となります。

分かりにくいときは、問題文を読んでわかることを図に書き込んでいきます。

ただ、円で描いてしまうと道のりをグルグル書くことになり、わかりにくくなりがち…

そこでこの例題でも、道のりを切ってのばして直線にしてみると、

一次方程式文章題おいつく例題説明図1

こんなふうに描くことができます。

図に書き込んでもわかりにくい場合は、ハナさん、コウさんそれぞれの道のり(距離)、速さ、時間を表にしてみましょう。

一次方程式文章題おいつく例題説明表1

のんさんまじめ
のんさん
表に書いたけど、道のりも早さもわからない…

あと一つ、式をつくるための材料がありました。

そう、このため池は1周2.1km。

2人の道のりの差=1周分でしたので、

一次方程式文章題おいつく例題説明図2

一次方程式文章題おいつく例題説明表2

となります。

ですので⑤「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくることができれば がだせるはず。

ハナさんの道のりからコウさんの道のりを引けば、ため池一周の道のりになりますから、

200x - 50x = 2100

のび校長イラスト大左向き
のびさん
こんな式をつくることができました。

あとは、この式を解けば、2人がかかった時間 をもとめることができます。

150x = 2100

「=」の両側を150でわればがもとめられます。

150x ÷ 150 = 2100 ÷ 150

x = 14

ハナさんはコウさんに出発してから14分後に追いつく

ことがわかりました。

のび校長イラスト左口
のびさん
2問連続、おつかれさまでした!
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まとめ

一次方程式「まわる」文章題のイメージ画像

こちらの記事では単元「一次方程式の利用」「道のり・速さ・時間」基本の問題を取りあげて解説してきました。

記事の内容は、

●「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプは
「おいつく」「まわる」「かわる」の3つ。

「まわる」のうち「であう」問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●「まわる」のうち「おいつく」問題の解き方、解き方の手順にそって解説。
●まとめ

一次方程式文章問題の解き方

① 文章を小分けにして読む。
② 条件をすべて書きだす。
③ 解りにくいときは、絵や図を描いてみる。
④ 求めるものを(エックス)におきかえる。
⑤ 「=(イコール)」の左側と右側が同じになるように式をつくる。
の5つの手順にそって、図や表を使いながら、2問の例題を解説してきました。
例題のようにていねいに解いていけば、ニガテな人も楽に答えを導きだすことができます。
解き方さえわかれば、
のんちゃん手にっこり
のんさん
問題に挑戦してみようかな…
とモチベーションも芽生えます。
モチベーションがあがってきたら、是非問題にチャレンジしてみてください。
きっと、楽に解ける感覚を実感してもらえるはず。

ここで取り上げた問題の解き方を参考に、数学の実力アップにつなげて頂ければ幸いです。

 

「道のり・速さ・時間」の主な出題タイプ「おいつく」問題の解き方は、以下の記事をご参照ください。

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一次方程式文章題の解き方

「一次方程式の利用」濃度の文章問題の解き方は、以下の記事をご参照ください。

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一次方程式文章題「濃度の問題」の解き方をイメージした画像

理科ででてくる「濃度」の基本を説明している以下の記事もご参照ください。

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中学の数学一次方程式の文章問題が解けた子のイメージ画像

 

のび校長イラスト左口
のびのび
お読み頂き、ありがとうございました。
皆さんのお役に立てれば幸いです。

 

【関連ページ】当スクールの取り組みにつきましては、下記ページをご参照ください。

スクールの特徴紹介につきましては、下記ページをご参照ください。
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